四星难题-反演+开世-读者来稿2

梅开二度

今天继续发 @夏泠言 来稿第二题, 是一道反演观点下的题目, 难度比上一题稍难， 看了 @夏泠言 的解答也是叹为观止

题目标签: 四星难题- 反演+开世- 读者来稿2

知识储备: 反演+ 开世定理

解答作者: 夏泠言

题目如下:

及其内心, 点, , 分别为三边切点, , 为过且与平行的直线上两点, 满足四点共圆.

过, 分别作以为圆心为半径的圆的切线, 切点记为, .

求证: 四点共圆.

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分析:

延长JH与KG交于点Z, 会发现此题十分对称, 即从ZHG的角度重新构图会与原图保持一致,

因而考虑该图形的"对称轴": DI的中垂线. 尝试过对称之后发现, JK仍然无法转化, 还将BC优势抹去.

重新观察发现在基圆圆I的反演下, 的像为圆(D, DI)

借助反演可以更好的转化J, K. 取DF, DE中点L, M. 线段IJ, IK分别与交于N, O.

这样B→L, C→M, J→N, K→O 因此只需要证NLMO四点共圆即可;

(注意到NO的定义可以改为过I作DH与DG的垂线, 这样就消去了J, K)

下面试图建立(NLMO)与(HFEG)之间的联系

对称的在以圆(D, DI)为基圆时, 转化(HFEG)

取DF, DE与l的交点U, T. DH, DG分别与IN, IO的交点S, R

则F→U, E→T, H→S, G→R

(△IHD与△IGD均为直角三角形, 易证反演关系)

得USRT四点共圆

结合∠ISD=∠ILD=∠IMD=∠IRD=90° 得(ISLDMR)均在以DI为直径的圆上, 

注意到(ISLDMR)(SRNO)(SRTU)为共轴圆

(ISLDMR)(LMTU)(LMON)也为共轴圆

最后用开世定理算幂即可证毕!

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证明:

沿用分析字母;

设以内切圆为基圆的反演为,

则,

设以圆为基圆的反演为

则,

这些由射影定理与反演对应关系容易得到;

下面证明共圆即可.

注意到

得四点共圆;

同样的

得四点共圆;

结合

得六点共圆,

设该圆与交于,

注意到为共轴圆

由开世定理得

也就是得到

故过的圆与共轴,

即共圆得证!

(最后欢迎其他读者来稿呀~)

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